Desember 16, 2011

Pendahuluan

Di sini, kita akan mendiskusikan prasayarat dasar tentang konsep-konsep dan gagasan matematika yang sudah akrab bagi para pembaca. Meskipun di sini hanya disajikan secara ringkas (bersifat review), beberapa diantara konsep tersebut dikupas secara teliti agar para pembaca memiliki alat untuk memahami berbagai topik yang akan disajikan di seluruh posting blog ini. Untuk itu, di sini kita akan mendiskusikan beberapa topik yang umum seperti:

1. Himpunan 
Himpunan adalah sekumpulan objek yang terdefinisi dengan baik. Walaupun himpunan merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna. 

Secara On-Line, Saya menyarankan Anda membaca konsep HIMPUNAN di blog ini. Anda juga bisa membaca teori Himpunan lebih lengkap di Wikipedia.


2. Fungsi

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap elemen sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.”

Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim. Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil.

Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah f(x) = 2x, yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5) = 10.


3. Persamaan Matematika 

Persamaan adalah suatu pernyataan matematika dalam bentuk simbol yang menyatakan bahwa dua hal adalah persis sama. Persamaan ditulis dengan tanda sama dengan, seperti berikut:
x + 3 = 5, yang menyatakan bahwa nilai x = 2.
2x + 3 = 5, yang menyatakan bahwa nilai x = 1.
Pernyataan di atas adalah suatu kesamaan. Persamaan dapat digunakan untuk menyatakan kesamaan dua ekspresi yang terdiri dari satu atau lebih variabel.

Sebagai contoh, misalkan x adalah, persamaan berikut ini selalu benar:
x(x - 1) = x2 − x
Persamaan di atas adalah contoh dari identitas, yaitu persamaan yang selalu benar, tak peduli berapa pun nilai variabel yang ada di dalamnya. Persamaan berikut bukanlah suatu identitas:

x2 - x = 0.
Persamaan di atas hanya benar untuk satu nilai, yaitu ketika x = 1. Karenanya, jika suatu persamaan diketahui bernilai benar, persamaan tersebut membawa informasi mengenai nilai x

Secara umum, nilai variabel di mana suatu persamaan menjadi benar disebut dengan solusi atau penyelesaian. Menyelesaikan suatu persamaan berarti menemukan solusinya. Banyak pengarang yang menggunakan istilah persamaan untuk kesamaan yang bukan identitas. 

Perbedaan antara kedua konsep tersebut kadang sulit dibedakan; sebagai contoh,


(x + 1)2 = x2 + 2x + 1

adalah identitas, yaitu bernilai benar untuk semua bilangan Real x, sedangkan

(x + 1)2 = 2x2 + x + 1

adalah persamaan yang hanya bernilai benar ketika x = 0 dan x = 1. Apakah suatu pernyataan dimaksudkan sebagai suatu identitas atau suatu persamaan, menentukan informasi mengenai variabelnya sering dapat ditentukan berdasarkan konteksnya


3. Induksi Matematika

Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk membuktikan (secara deduktif) pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.

Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Misalkan S(k) adalah pernyataan yang menyangkut bilangan asli dan perlu dibuktikan kebenarannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk bilangan asli n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau S(k + 1) benar).


4. Teknik Pembuktian
Pembuktian Matematika adalah sebuah demonstrasi yang meyakinkan atas rumus/teorema itu benar, dengan bantuan logika dan matematika. Pembuatan bukti telah lama mendapatkan perhatian besar dalam teori matematika.


Terdapat sejumlah cara untuk membuktikan sebuah pernyataan pada:
  • Induksi: Orang membuktikan teorema itu benar di suatu kejadian tertentu dan kemudian membuktikan kejadian selanjutnya juga benar.
  • Pembuktian kontradiksi: Seseorang menunjukkan bahwa jika beberapa pernyataan salah, sebuah kontradiksi logika terjadi, karena itu pernyataan harus benar.
  • Pembuktian langsung : Seseorang membuktikan suatu implikasi (A → B) dengan asumsi pada hipotesis A itu benar dan kemudian membuktikan kesimpulan B itu benar.
  • Transposisi : Seseorang membuktikan sebuah implikasi (A → B) dengan asumsi pada kesimpulan B salah atau kemudian menentukan hipotesis itu juga salah.


5. Permutasi dan Kombinasi
Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula. Sebagai contoh, kata-kata dalam kalimat sebelumnya dapat disusun kembali sebagai "adalah Permutasi suatu urutan yang berbeda urutan yang kumpulan semula objek penyusunan kembali dalam dari." Proses mengembalikan objek-objek tersebut pada urutan yang baku (sesuai ketentuan) disebut pengurutan (sorting).

Istilah kombinasi dalam matematika kombinatorik berarti himpunan objek yang tidak mementingkan urutan. Kombinasi berbeda dengan permutasi yang mementingkan urutan objek.