Desember 16, 2011

Prasyarat Matematika

Bayangkan, ada seekor gajah dalam sebuah ruangan tertutup rapat dan tak seorangpun mengetahui makhluk apa yang ada di dalam ruangan tersebut. Kemudian, enam orang sukarelawan diminta menebak apa yang ada di dalam ruangan tersebut dengan cara menutup mata dan telinga mereka.
Inilah kemungkinan-kemungkinan yang bisa terjadi:

  1. Orang pertama masuk ke ruangan dan memegang telinganya yang lebar dan bergerak-gerak, kemudian dia menebak bahwa benda itu adalah sebuah kipas. 
  2. Orang kedua masuk ke dalam ruangan dan berhasil memegang ekornya, kemudian dia menebak benda tersebut adalah sebuat tali. 
  3. Orang ketiga masuk ruangan dan memegang gadingnya, kemudian dia menebak benda tersebut adalah tombak.
  4. Orang keempat masuk ruangan dan memegang kakinya yang kokoh, kemudian dia menebak benda tersebut adalah pohon.
  5. Orang kelima masuk ruangan dan memegang tubuh besarnya, kemudian dia menebak benda tersebut adalah tembok.
  6. Orang keenam masuk ruangan dan memegang belalai panjangnya yang bergerak-gerak, kemudian dia menebak benda tersebut adalah seekor ular.
Keenam orang tersebut yakin bahwa tebakannya BENAR! Tapi, siapakah diantara keenam orang itu yang benar? Tentu saja tidak ada yang benar, karena benda yang mereka pegang adalah sebagian kecil dari keseluruhan benda yang harus ditebak.

Begitu juga dengan matematika. Kebenaran dalam matematika adalah kebenaran universal, diakui kebenarannya oleh semua orang. Dan yang paling penting, KEBENARAN dalam matematika adalah KEBENARAN YANG KONSISTEN, yaitu suatu pernyataan dikatakan BENAR jika pernyataan tersebut sesuai dengan pernyataan-pernyataan pendahulunya yang telah diakui kebenarannya (aksioma).



Misalnya, kita semua sepakat bahwa jika dua buah bilangan bulat a dan b berlaku a - b > 0, maka a > b. Pernyataan tersebut diatas disebut aksioma, pernyataan yang kita sepakati bersama KEBENARANNYA. Dengan demikian kita memiliki:

AKSIOMA:  jika dua buah bilangan bulat a dan b berlaku a - b > 0, maka a > b

Nah, kemudian saya bertanya pada Anda, "Apakah 8 > 7?"

Kita bisa cek dengan aksioma kita:
Karena 8 - 7 = 1, dan 1 > 0, maka sesuai dengan aksioma, pernyataan 8 > 7 bernilai BENAR.
Inilah yang disebut KEBENARAN YANG KONSISTEN!

Pernyataan 8 > 7 memang bernilai benar, tapi harus dibuktikan dulu dengan cara mengujinya apakah memenuhi aksioma atau tidak. Pernyataan yang perlu dibuktikan kebenarannya disebut teorema.

Di dalam matematika, sebuah teorema hadir dalam dua bentuk, yaitu (1) Biimplikasi dan (2) Implikasi.

Biimplikasi
Bentuk Teorema yang pertama (biimplikasi) adalah sebagai berikut
 "(pernyataan A) jika dan hanya jika (pernyataan B)"
Seingkali matematikawan menuliskannya dengan simbol  B
CONTOH: Misalkan x adalah bilangan bulat, maka x2 adalah bilangan genap jika dan hanya jika x bilangan genap.

Dalam bentuk ini, pernyataan A dan pernyataan B haruslah sama-sama bernilai benar, karena itu dalam dunia matematika, teorema berbentuk biimplikasi yang bernilai BENAR sering digunakan sebagai pengganti definisi/aksioma.

Implikasi
Bentuk Teorema yang kedua (implikasi) adalah sebagai berikut:
 "jika (pernyataan A) maka (pernyataan B)"
Seringkali matematikawan menuliskannya dengan simbol → B. Teorema bentuk kedua ini sangat popular di luar dunia matematika. Teorema bentuk implikasi ini sering disebut juga sebagai bentuk "Sebab-Akibat", sehingga bentuknya menjadi "jika (sebab) maka (akibat)".
CONTOH: Jika Rooney bekerja keras maka ia akan kaya


Dalam contoh diatas belum tentu berlaku sebaliknya (jika Rooney kaya maka ia bekerja keras). Bisa jadi Rooney menjadi kaya karena warisan, atau memenangkan hadiah lotre, sehingga tidak perlu bekerja keras. 


Namun satu hal yang pasti, jika pernyataan B (akibat) bernilai benar, maka keseluruhan teorema itu bernilai benar, tak peduli pernyataan A (sebab) benilai benar atau tidak!


Jadi, kebenaran dalam matematika adalah kebenaran yang universal dan konsisten. Urutan kebenaran matematika adalah sebagai berikut:


aksioma (definisi) → teorema 1 → teorema 2 → ... → teorema n